G.d.R CNRS 2900 "CHANT"


PRÉSENTATION



Le texte de présentation qui suit est un extrait du projet scientifique
tel qu'il a été proposé auprès du CNRS fin 2004



    Né du succès du réseau européen HYKE, qui avait vu un rapprochement des communautés «hyperbolique», «cinétique», et «solutions de viscosité», le GdR CHANT compte environ 250 membres, issus d'une vingtaine de laboratoires français.

    La «communauté cinétique et hyperbolique» s'identifie notamment dans quelques problèmes emblématiques. Pêle-mêle, on peut citer les équations de Vlasov et de Boltzmann (leur obtention à partir de systèmes de particules classiques ou quantiques, l'étude qualitative de leurs solutions en temps petit et en temps grand, leur résolution numérique), les solutions de viscosité des équations d'Hamilton-Jacobi, le phénomène de caustique, les chocs, les conditions d'entropie, la stabilité dans les systèmes hyperboliques, la formulation cinétique des lois de conservation, les solveurs hyperboliques ou cinétiques, ou encore la limite fluide des problèmes cinétiques. Par ailleurs, la communauté est globalement très sensibilisée aux enjeux numériques sous-jacents, et la simulation numérique vient souvent appuyer l'activité de modélisation. Enfin, l'ouverture vers les applications, et le souci de mise en oeuvre d'outils mathématiques variés dans cette direction, sont aussi globalement marqués. Par exemple, les méthodes fines d'estimation d'entropie apparaissent de manière centrale dans les très récentes études de modèles pour la biologie ou la dynamique des populations. De même, les équations d'Hamilton-Jacobi apparaissent dans la description de la propagation de «fronts» en chimiotaxie.

     C'est dans cet esprit, et autours de ces problématiques scientifiques, qu'a été créé le GdR CNRS CHANT.

     Nous identifions et détaillons ci-dessous quelques thématiques générales représentées dans ce GdR. Bien sûr, une telle démarche est nécessairement un peu arbitraire, et nous ne prétendons pas faire un panorama exhaustif.

 

Analyse asymptotique et hiérarchisation des modèles

La démarche de modélisation, et donc la nécessaire hiérarchisation des modèles, constituent une motivation importante, et une source de recherches actives : bien fréquemment, pour un phénomène physique, chimique, ou biologique donné, on dispose de plusieurs modèles plus ou moins précis et correspondant à différents niveaux de modélisation, différentes échelles. L'identification même des échelles, le passage d'un modèle à l'autre, leur justification, leur construction, sont autant de tâches souvent difficiles, qui doivent se faire en collaboration avec les physiciens, chimistes, ou biologistes concernés. Un exemple très célèbre et emblématique en est donné par la hiérarchie des équations de Newton, de Boltzmann, et de Navier-Stokes : au niveau des particules, le modèle «naturel» est donné par les équations de Newton, un système d'équations différentielles ordinaires ; puis, dans un régime en temps long et grand nombre de particules, c'est plus raisonnablement l'équation de Boltzmann qui devient pertinente, le prototype de l'équation cinétique ; enfin, pour une échelle de temps encore plus grande, et un gaz de particules plus dense, les équations de Navier-Stokes ou d'Euler sont le modèle «correct», et sont l'emblème des systèmes de type «hyperbolique» (i.e. des équations fluides). Au-delà de ce contexte particulier, où les questions mathématiques sous-jacentes sont très ardues, la méthodologie elle-même, qui consiste à identifier et classer les modèles, les régimes, est certainement au centre des préoccupations de la communauté. On peut aussi penser aux questions de couches limites pour les fluides, qui ont connu des progrès récents considérables, et permettent par exemple de passer de modèles complets du type Navier-Stokes, à certains modèles simplifiés, comme on en rencontre en océanographie. Également, l'optique géométrique a beaucoup apporté, récemment, dans des contextes aussi variés que la mécanique des fluides, la propagation d'ondes lasers dans les matériaux non-linéaires, ou l'analyse numérique de la propagation d'ondes haute-fréquence. Dans un esprit proche de l'optique géométrique, l'homogénéisation et la transformation de Wigner, sont deux outils qui ont largement pénétré la communauté hyperbolique et cinétique. Ils permettent similairement de comprendre le comportement haute-fréquence d'une vaste gamme de modèles. Un autre thème bien identifié, et encore très ouvert, est celui de la modélisation du transport des électrons dans les semi-conducteurs. Citons par exemple la dérivation d'équations de type Schrödinger non-linéaire à «une particule» à partir de modéles linéaires à N particules. Citons aussi la dérivation d'équations de type Boltzmann à partir de modèles quantiques, l'enjeu étant ici la description des «collisions» au niveau quantique. Citons enfin la dérivation de modèles fluides pour le transport électronique, à partir de modèles cinétiques. Plus récemment, la description du trafic routier, ou le très florissant domaine de la modélisation pour la biologie, a donné lieu a une variété de descriptions similaires : description microscopique, au niveau des véhicules ou des cellules ; description mésoscopique via des modèles cinétiques qui prennent en compte le comportement collectif des individus en position/vitesse ; description macroscopique, qui modélise typiquement l'évolution des vitesses moyennes des individus.

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Modèles couplés et modèles micro-macro

Dans un contexte sans doute plus ouvert que dans le précédent paragraphe, la question de coupler différents niveaux de modélisation est aussi naturelle, et actuelle. Pour des raisons numériques, on peut en effet être amené à découper la zone d'étude en plusieurs régions, l'une décrite à un niveau microscopique (une échelle très précise), l'autre étant modélisée au niveau macroscopique, (modèle plus grossier). Un cas typique en est la dynamique des gaz, pour lequel on peut être amené à coupler une description cinétique, valable dans le régime des gaz raréfiés, à une description hydrodynamique. La question du couplage, et en particulier des conditions d'interface, est encore très mal comprise, et correspond à un enjeu scientifique important. Un autre exemple est le transport dans les semi-conducteurs : là, on souhaite coupler des zones quantiques, décrites par des modèles de type Schrödinger, avec des zones classiques, décrites par des modèles de type Vlasov. Plus généralement, et plus récemment, a émergé la notion de modèle micro-macro. Dans le contexte de la mécanique des milieux continus, il s'agit d'intégrer des effets microscopiques directement dans les modèles macroscopiques. Une telle démarche permet d'expliquer, par exemple, le comportement non Newtonien de certains fluides. Il s'agit là d'un programme de longue haleine impliquant une compréhension fine des modèles, des échelles, et un travail difficile de modélisation, d'analyse mathématique, et d'analyse numérique. Les méthodes d'entropie et de convexité interviennent d'ailleurs très naturellement dans ce cadre, et permettent d'explorer ce type de systèmes couplés. Dans un contexte très différent, mais un esprit semblable, on cherche aujourd'hui à élaborer des modèles pour la chimie qui prennent en compte, autant que faire se peut, à la fois les interactions élémentaires entre particules, et les comportements moyens ou collectifs de molécules de petite taille, voire de protéines. Là aussi l'enjeu est naturellement à la fois de modélisation, d'analyse mathématique, et d'analyse numérique

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Méthodes d'entropie

Les méthodes d'entropie permettent essentiellement de mesurer la vitesse de retour à l'équilibre dans des modèles non-linéaires, là où, bien souvent, une analyse linéaire ne fournit qu'une partie de l'information. Ce sont des méthodes globales : elles permettent de mesurer le retour à l'équilibre même pour des données initiales éloignées de l'équilibre. Ce sont aussi, souvent, des méthodes quantitatives : elles n'offrent pas qu'une estimation de la première valeur propre négative, mais bien un taux optimal de convergence. Enfin, elles permettent aussi de découvrir une structure de flot gradient pour les équations de dérive-diffusion non-linéaires. Cette identification d'une «bonne» géométrie a d'ailleurs motivé une théorie plus générale des flots gradients dans un contexte Riemannien. Par ailleurs, ces méthodes donnent un taux de convergence explicite, souvent optimal (en combinaison éventuellement avec des méthodes spectrales) et qui peuvent s'appliquer aux cas inhomogènes en espace. Ces méthodes ont connu récemment un très grand succès, et ont été mises en œuvre pour de nombreux modèles cinétiques collisionnels. La compréhension théorique fine de ces outils a permis de résoudre, pour partie, certaines conjectures importantes, dans le contexte de l'équation de Boltzmann ou de l'équation de Fokker-Planck. Elle a débouché aussi sur des liens profonds avec les questions de transport de masse. Par la même approche, on a pu affiner la compréhension de modèles plus récents, apparus dans le contexte de la modélisation pour la biologie : coagulation-fragmentation, dynamique des populations. On peut aussi citer le domaine très actif de la modélisation des milieux granulaires.

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Systèmes hyperboliques

Des progrès importants ont été faits récemment notamment dans la compréhension du problème de Cauchy pour les lois de conservation possédant des entropies polyconvexes (et non convexes : les équations de Maxwell, ou le modèle de Born-Infeld, rentrent dans cette classe). L'étude des oscillations fortes le long d'un champ linéairement dégénéré et l'analyse de chocs visqueux multidimensionnels ont aussi connu une avancée très importante. Des questions fines de stabilité sont maintenant abordées dans ce cadre. Ce thème renvoie plus généralement à la question de la stabilité et aux phénomènes de bifurcation en dimension infinie, qui semble avoir maintenant pénétré la communauté par différents biais. Aussi, nous souhaitons souligner l'apport de l'optique géométrique dans ce contexte, qui permet de fournir, et d'analyser complètement, des modèles de profils de chocs.

L'analyse numérique des systèmes hyperboliques a aussi connu d'importants progrès récemment. Sans prétendre fournir un tableau complet, nous souhaitons souligner plus particulièrement que l'interaction hyperbolique/cinétique a permis des avancées très importantes, via la formulation et l'approximation cinétique des lois de conservation, et leur pendant moderne qu'est la relaxation. Nous pensons par exemple à l'important travail réalisé autour des équations de Saint-Venant (des systèmes dégénérés avec termes sources).

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Équations de type Hamilton-Jacobi

Les équations d'Hamilton-Jacobi interviennent naturellement dans l'analyse haute-fréquence des équations d'onde : c'est l'équation eikonale. Elles interviennent également dans la description de la propagation de fronts en combustion, en dynamique des populations, ou en chimiotaxie, par exemple. On pense aussi aux théories d'Allen-Cahn et de Ginzburg-Landau. Elles ont un contenu géométrique propre. L'effort récent s'est plus particulièrement concentré sur la description de tels fronts, et le comportement asymptotique de solutions d'équations de type réaction-diffusion, voire le comportement asymptotique des solutions d'équations de Hamilton-Jacobi elles-mêmes. Avec un point de vue plus géométrique, ces équations fournissent un cadre naturel pour décrire les mouvements d'interfaces («level-sets approach»). On pense par exemple au mouvement par courbure moyenne. On pense aussi au contexte de l'analyse d'images (le front est alors le contour de l'objet d'intérêt), mais également au mouvement de l'interface entre deux fluides, dans un écoulement multiphasique. L'homogénéisation des équations d'Hamilton-Jacobi est également un domaine très actif. Sur le plan numérique enfin, de très importants progrès ont été réalisés, tant pour la discrétisation des équations de Hamilton-Jacobi elles-mêmes, que pour la détection de caustiques ou d'autres problèmes reliés.

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Équations cinétiques

Outre le retour à l'équilibre et la théorie de la régularité pour l'équation de Boltzmann, et les développements considérables autour de la formulation cinétiques des lois de conservation mentionnés plus haut, les formulations cinétiques ont trouvé plus récemment des applications dans la théorie de Ginzburg-Landau. Elles ont aussi permis de développer une théorie de régularité fine pour les lois de conservation scalaires, qui n'utilise pas les lemmes de moyenne. La compréhension de la régularité des solutions de systèmes de type Vlasov est aussi une question tout à fait active. Enfin, la théorie cinétique quantique est, comme nous l'avons déjà mentionné, un thème très vivant, et nous renvoyons à ce qui précède sur ce point. De même, plus récemment, la modélisation cinétique pour la biologie a connu un très grand succès. Sur le plan numérique, nous souhaitons mettre en avant les progrès récents autour de la discrétisation des équations de Vlasov (Vlasov-Maxwell, Vlasov-Poisson). Il s'agit là d'un problème très délicat, du fait qu'il est posé dans l'espace des phases, donc en dimension 4 ou 6. Ce problème a beaucoup évolué récemment, grâce à des codes adaptatifs qui contournent la classique difficulté de la «concentration» pour les méthodes particulaires standard.

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