Le texte de présentation qui suit est un
extrait du projet scientifique
tel qu'il a été proposé
auprès du CNRS
fin 2004
Né du succès du réseau
européen HYKE, qui avait vu un
rapprochement des communautés «hyperbolique»,
«cinétique», et «solutions de
viscosité», le GdR CHANT compte environ 250 membres, issus
d'une vingtaine de laboratoires français.
La «communauté cinétique et hyperbolique» s'identifie notamment dans quelques problèmes emblématiques. Pêle-mêle, on peut citer les équations de Vlasov et de Boltzmann (leur obtention à partir de systèmes de particules classiques ou quantiques, l'étude qualitative de leurs solutions en temps petit et en temps grand, leur résolution numérique), les solutions de viscosité des équations d'Hamilton-Jacobi, le phénomène de caustique, les chocs, les conditions d'entropie, la stabilité dans les systèmes hyperboliques, la formulation cinétique des lois de conservation, les solveurs hyperboliques ou cinétiques, ou encore la limite fluide des problèmes cinétiques. Par ailleurs, la communauté est globalement très sensibilisée aux enjeux numériques sous-jacents, et la simulation numérique vient souvent appuyer l'activité de modélisation. Enfin, l'ouverture vers les applications, et le souci de mise en oeuvre d'outils mathématiques variés dans cette direction, sont aussi globalement marqués. Par exemple, les méthodes fines d'estimation d'entropie apparaissent de manière centrale dans les très récentes études de modèles pour la biologie ou la dynamique des populations. De même, les équations d'Hamilton-Jacobi apparaissent dans la description de la propagation de «fronts» en chimiotaxie.
C'est dans cet esprit, et autours de ces problématiques scientifiques, qu'a été créé le GdR CNRS CHANT.
Nous identifions et détaillons ci-dessous quelques thématiques générales représentées dans ce GdR. Bien sûr, une telle démarche est nécessairement un peu arbitraire, et nous ne prétendons pas faire un panorama exhaustif.
Analyse asymptotique et hiérarchisation
des modèles
La démarche de modélisation, et
donc la nécessaire
hiérarchisation des
modèles, constituent une motivation
importante, et une source de recherches actives :
bien fréquemment, pour un phénomène physique,
chimique, ou biologique donné, on dispose de plusieurs
modèles plus ou moins précis et correspondant à
différents
niveaux de modélisation, différentes échelles.
L'identification même des échelles, le passage d'un
modèle à l'autre, leur justification, leur construction, sont
autant de tâches souvent difficiles, qui doivent se faire en
collaboration avec les physiciens, chimistes, ou biologistes
concernés.
Un
exemple très célèbre et emblématique en
est donné par la
hiérarchie des équations de Newton, de Boltzmann, et de
Navier-Stokes : au niveau des particules, le modèle
«naturel» est donné par les équations de Newton, un
système d'équations différentielles ordinaires ;
puis, dans
un régime en temps long et grand nombre de particules, c'est
plus raisonnablement l'équation de Boltzmann qui devient
pertinente, le prototype de l'équation cinétique ;
enfin, pour
une échelle de temps encore plus grande, et un gaz de particules
plus dense, les équations de Navier-Stokes ou d'Euler sont le
modèle «correct», et sont l'emblème des
systèmes de type
«hyperbolique» (i.e. des équations
fluides). Au-delà de ce
contexte particulier, où les questions mathématiques
sous-jacentes sont très ardues, la
méthodologie elle-même, qui consiste à identifier
et classer
les modèles, les régimes, est certainement au centre des
préoccupations de la communauté.
On peut aussi penser aux questions de couches limites pour
les fluides, qui ont connu des progrès récents
considérables,
et permettent par exemple de passer de modèles complets du type
Navier-Stokes, à certains modèles simplifiés, comme on en
rencontre en océanographie.
Également, l'optique
géométrique a beaucoup
apporté, récemment, dans des contextes aussi variés que la
mécanique des fluides, la propagation d'ondes lasers dans les
matériaux non-linéaires, ou l'analyse numérique
de la propagation d'ondes haute-fréquence.
Dans un esprit proche de l'optique géométrique,
l'homogénéisation et la transformation de
Wigner, sont deux
outils qui ont largement pénétré la communauté
hyperbolique et cinétique. Ils permettent similairement de
comprendre le comportement haute-fréquence d'une vaste gamme
de modèles.
Un autre thème bien identifié,
et encore
très ouvert, est celui de la modélisation du transport des
électrons dans les semi-conducteurs. Citons par exemple la
dérivation d'équations de type Schrödinger
non-linéaire à «une
particule» à partir de modéles linéaires
à N particules.
Citons aussi la
dérivation d'équations de type Boltzmann à partir de
modèles quantiques, l'enjeu étant ici la description des
«collisions» au niveau quantique. Citons enfin la
dérivation de
modèles fluides pour le transport électronique,
à partir
de modèles cinétiques.
Plus récemment, la
description du trafic routier, ou le très florissant domaine
de la modélisation pour la biologie, a donné lieu a une
variété de descriptions similaires : description
microscopique, au niveau des véhicules ou des cellules ;
description mésoscopique via des modèles cinétiques
qui prennent en compte le comportement collectif des individus
en position/vitesse ; description macroscopique, qui modélise
typiquement l'évolution des vitesses moyennes des
individus.
Modèles couplés et modèles
micro-macro
Dans un contexte sans doute plus ouvert que dans le précédent
paragraphe, la question de
coupler différents niveaux de modélisation est aussi
naturelle, et actuelle. Pour des raisons numériques, on
peut en effet être amené à découper la zone
d'étude en
plusieurs régions, l'une décrite à un niveau microscopique
(une échelle très précise), l'autre
étant
modélisée au niveau macroscopique, (modèle plus
grossier).
Un cas typique en est la dynamique des gaz, pour lequel
on peut être amené à coupler une description
cinétique,
valable dans le régime des gaz raréfiés, à
une description
hydrodynamique. La question du couplage, et en particulier des
conditions d'interface, est encore très mal comprise, et
correspond à un enjeu scientifique important.
Un autre exemple est le transport dans les semi-conducteurs :
là, on souhaite
coupler des zones quantiques, décrites par des modèles de type
Schrödinger, avec des zones classiques, décrites par des
modèles de type Vlasov.
Plus généralement, et plus récemment, a
émergé la
notion de modèle micro-macro.
Dans le
contexte de la mécanique des milieux continus, il s'agit
d'intégrer
des effets microscopiques directement dans les modèles
macroscopiques. Une telle démarche permet d'expliquer, par
exemple, le comportement non Newtonien de certains fluides. Il
s'agit là d'un programme de longue haleine impliquant une
compréhension fine des modèles, des échelles, et un
travail difficile de modélisation, d'analyse
mathématique, et d'analyse numérique.
Les méthodes
d'entropie et de convexité interviennent d'ailleurs
très naturellement dans ce cadre, et permettent d'explorer
ce type de systèmes couplés.
Dans un contexte
très différent, mais un esprit semblable,
on cherche aujourd'hui à élaborer des modèles
pour la chimie
qui prennent en compte, autant que faire se peut, à la fois
les interactions élémentaires entre particules, et les
comportements moyens ou collectifs de molécules de petite
taille, voire de protéines. Là aussi l'enjeu est
naturellement à la fois de modélisation, d'analyse
mathématique, et d'analyse numérique
Méthodes d'entropie
Les méthodes d'entropie permettent essentiellement de mesurer
la vitesse de retour à l'équilibre dans des modèles
non-linéaires, là où, bien souvent, une analyse
linéaire ne fournit qu'une partie de l'information. Ce sont des
méthodes globales : elles permettent de mesurer le
retour à
l'équilibre même pour des données initiales
éloignées
de l'équilibre. Ce sont aussi, souvent, des méthodes
quantitatives : elles n'offrent pas qu'une estimation de la
première valeur propre négative, mais bien un taux optimal
de convergence. Enfin, elles permettent aussi de découvrir
une structure de flot gradient pour les équations
de dérive-diffusion
non-linéaires. Cette identification d'une «bonne»
géométrie
a d'ailleurs motivé
une théorie plus générale des flots gradients
dans un contexte Riemannien. Par ailleurs, ces méthodes
donnent un taux de
convergence explicite, souvent optimal (en combinaison
éventuellement
avec des méthodes spectrales) et qui peuvent s'appliquer aux cas
inhomogènes en espace.
Ces méthodes
ont connu récemment un très grand succès,
et ont été mises en œuvre pour de nombreux
modèles cinétiques
collisionnels.
La compréhension théorique fine de
ces outils a permis de résoudre, pour partie, certaines
conjectures importantes, dans le contexte de l'équation de
Boltzmann ou de l'équation de Fokker-Planck. Elle a
débouché aussi sur des liens profonds avec les questions de
transport de masse.
Par la même approche, on a pu affiner la compréhension de
modèles plus récents,
apparus dans le contexte de la modélisation pour la
biologie : coagulation-fragmentation, dynamique des
populations. On peut aussi citer le domaine très actif de
la modélisation des milieux granulaires.
Systèmes hyperboliques
Des progrès importants ont été faits
récemment notamment dans la
compréhension du problème de Cauchy pour les lois de
conservation possédant des entropies polyconvexes (et non
convexes : les équations de
Maxwell, ou le modèle de Born-Infeld, rentrent dans cette
classe). L'étude des oscillations fortes le long d'un champ
linéairement dégénéré et l'analyse de chocs
visqueux multidimensionnels ont aussi connu une avancée très
importante.
Des questions fines de
stabilité sont maintenant abordées dans ce cadre.
Ce
thème renvoie plus généralement à la question de la
stabilité et aux phénomènes de
bifurcation en dimension
infinie, qui semble avoir maintenant pénétré
la communauté
par différents biais.
Aussi, nous souhaitons souligner l'apport de l'optique
géométrique dans ce contexte, qui permet de fournir, et
d'analyser complètement, des modèles de profils de chocs.
Équations de type Hamilton-Jacobi
Les équations d'Hamilton-Jacobi interviennent naturellement
dans l'analyse haute-fréquence des équations d'onde : c'est
l'équation eikonale.
Elles interviennent également dans
la description de la propagation de fronts en combustion, en
dynamique des populations, ou en chimiotaxie, par exemple.
On pense aussi aux théories d'Allen-Cahn
et de Ginzburg-Landau. Elles ont un contenu géométrique
propre.
L'effort
récent s'est plus particulièrement concentré sur la
description de tels fronts, et le comportement asymptotique de
solutions d'équations de type réaction-diffusion, voire le
comportement asymptotique des solutions d'équations de
Hamilton-Jacobi elles-mêmes. Avec un point de vue plus
géométrique, ces équations fournissent un cadre
naturel pour
décrire les mouvements d'interfaces («level-sets approach»).
On pense par exemple au
mouvement par courbure moyenne. On pense aussi au contexte de
l'analyse d'images (le front est alors le contour de l'objet
d'intérêt), mais également au mouvement de
l'interface entre
deux fluides, dans un écoulement multiphasique.
L'homogénéisation des équations
d'Hamilton-Jacobi est également un
domaine très actif. Sur le plan numérique enfin,
de très importants progrès ont été
réalisés, tant pour la discrétisation des équations
de Hamilton-Jacobi elles-mêmes, que pour la détection de
caustiques ou d'autres problèmes reliés.
Équations cinétiques
Outre le retour à l'équilibre et la
théorie de la régularité pour l'équation
de Boltzmann, et les développements considérables
autour de la formulation cinétiques des lois de conservation
mentionnés plus haut, les formulations cinétiques ont
trouvé plus récemment des applications dans la théorie de
Ginzburg-Landau. Elles ont aussi permis de développer
une théorie de régularité fine pour
les lois de conservation scalaires, qui n'utilise pas les lemmes
de moyenne.
La compréhension de la régularité
des solutions de systèmes de type Vlasov
est aussi une question tout à fait active.
Enfin, la théorie cinétique
quantique est, comme nous l'avons déjà mentionné,
un thème très vivant, et nous renvoyons à ce qui
précède sur ce point.
De même, plus
récemment, la modélisation cinétique pour la
biologie a connu un très grand succès.
Sur le plan numérique, nous souhaitons mettre en avant
les progrès
récents autour de la discrétisation des
équations de Vlasov (Vlasov-Maxwell, Vlasov-Poisson). Il s'agit
là d'un
problème très délicat, du fait qu'il est posé dans
l'espace des phases, donc en dimension 4 ou 6. Ce
problème a beaucoup évolué récemment,
grâce à
des codes adaptatifs qui contournent la classique difficulté
de la «concentration» pour les méthodes
particulaires standard.